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静电磁问题的有限元分析与数值模拟

发布于:2016-04-04 20:50
有限元分析

      随着计算机技术的飞速发展和工程大型计算的需求,并行计算技术已经成为目前和今后工程计算领域一项重要技术。计算电磁学中,以变分原理为基础的有限元分析方法以其优异的特性,成为电磁场计算中非常重要的一种方法。但面临大规模问题或计算量较大时,传统单机串行有限元方法难以胜任,而有限元法又具有天然的并行性,将并行技术应用于电磁场有限元计算势在必行。在分布存储并行环境下,目前有限元的并行策略主要有:
      1)基于线性方程组并行数值求解器,对传统有限元最耗时的过程—系统方程组的求解进行并行化以加快整个分析过程的求解时间;
      2)并行子结构法,根据传统区域分裂算法的理论划分子域,在边界结点上建立整体结构的平衡方程,降低问题的自由度;
      3)并行EBE(element by element)法.在单元级上实施有限元整体运算的并行化迭代算法,避组集总刚矩阵;
      4)其他方法,如FETI(finite element tearing and interconnecting)法,本研究采用区域分解法,此时的有限元方法可分为区域分解,单元计算,矩阵合成,边界条件处理,线性方程组求解五个阶段,最主要的计算量在求解经过边界条件处理的总体合成矩阵线性方程组上,采用并行性较好、迭代速度快的预处理共轭梯度法并行求解方程组电磁场有限元法并行计算主要步骤如下:
      Step1:在区域分解阶段按照区域均分的原则,将计算区域Ψ分解为Ψ1,Ψ2,…,Ψp共p个子区域,分别由p台处理机在本区域内按照一定规则进行区域剖分;
      Step2:用第i台处理机,处理区域Ψi单元数据(i= 1,…,p),在离散后的每个小区域中单独进行限元计算。若对二维场的第一类边值问题进行线性插值三角元剖分,可以得到单元计算公式Kers=Kesr=X4A(brbs+crcs) r,s=1,2,3其中,K为单元刚度矩阵,e为三角元,Kers为第e个单元刚度矩阵r行s列的元素,X为介电数,bi,ci为第i个三角元的两个边长,A为三角元e的面积;
      Step3:合成总体矩阵,各处理机需要对边界区域进行通讯,总场的系数矩阵元素为其中,e0为单元总数,经边界条件处理后形成最终要求解的线性方程组即所谓的有限元方程。
      Step4:用预处理共轭梯度法并行求解线性方程组,假设n=pm,其中n为系数矩阵的阶数,p为处理机台数,则在第i台处理机pi中存入K(i-1)m+j,h(i-1)m+j,θ(i-1)m+j,j= 1,2,…,m,则在每台处理机中矩阵和向量的乘积,向量的内积,链三元组都可以并行地计算,具体计算步骤见文献注若n不能被p整除,则一些处理机按顺序存[n/p]+1行,另一些存[n/p]行,同时将,h,θ中相应的分量存入对应的处理机中,要尽量使每台处理机的负载大体均衡,以减少等待时间。


                                                                                  专业从事机械产品设计│有限元分析│强度分析│结构优化│技术服务与解决方案
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