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多重网格法在岩体力学有限元分析中的应用

发布于:2016-12-05 17:22
有限元分析

      多重网格法是求解偏微分方程数值解的有效方法之一,其计算工作量仅与网格节点数的一次方成正比,并且收敛速度与网格规模大小无关,具有收敛速度快和计算工作量少等优点,从而特别适合应用于大型、超大型工程数值计算问题中。将多重网格方法引入到岩体力学有限元分析领域,对于解决岩石力学工程实践中不断出现的大规模科学计算问题,如整个地下矿山大区域范围矿床开采的模拟与方案优化,长大隧道施工过程的三维有限元分析等,提高岩石力学有限元数值模拟的效率、精度以及相应工程领域的管理决策水平,无疑具有较大的科学和技术经济意义。
      多重网格法分为几何多重网格法与代数多重网格法两类,利用几何多重网格方法求解岩石力学有限元方程时首先要求产生一系列相互嵌套的有限元网格,并预知各层几何网格信息。当求解区域复杂或者由细网格不均匀地给出粗网格时,应用几何多重网格法都会遇到困难,有时甚至很难选取有效的松弛算了。其次,几何多重网格法对于计算区域内介质材料特性非均质或不连续的情形,在形成粗网格时也很不方便。众所周知,岩体是非连续、非均质的介质,当使用有限元模拟开挖、充填和锚喷支护等不同的工况时,在有限元分析的过程中,岩体结构物的几何形状和计算区域的材料参数基本上是一个不断变化的复杂过程,因此基于几何网格的几何多重网格法在岩体力学有限元分析中的应用存在很大的局限性。
      代数多重网格分析方法(AMC7)是利用几何多重网格法的思想建立起来白动求解线性代数方程组的一种迭代方法,但是两者具有不同的特性,几何多重网格法必须利用问题的几何结构:如网格、定义在网格上的算了、预先确定的获得粗网格的方法等;而代数多重网格仅仅利用方程组的系数矩阵,从网格剖分的代数结构出发白动形成虚拟的粗细网格,不需明确各层网格的几何和物理意义,代数多重网格法的思想首先由Brandt、McCormic和Ruge提出,经过Ruge和Stuben等人的发展,已初步形成比较成熟的理论,但到目前为止,对此方法的研究多限于数学界的专家们。本研究将这一方法引入到工程科学计算领域,讨论代数多重网格方法在岩体力学线弹性有限元分析中的应用问题,提出了相应的粗化策略与插值算了,并研制了适于岩体力学线弹性有限元求解的代数多重网格求解器。数值试验结果表明:代数多重网格算法是高效的、适用的,较直接法和其他常用迭代方法具有较大的优越性。
      为了说明代数多重网格算法在岩石力学有限元分析中的数值计算效率,且减少数据准备工作量,设计了均质各向同性条件下原岩白重应力场的有限元模拟算例。具体试验方案为:有限元模型高度方向取80米,宽度为100米,在计算过程中仅考虑体力,计算参数分别为:E=10000MPa,a=0.25岩体容重P取2700kg/m3,然后保持有限元求解的区域不变,在模型范围内不断改变单元剖分方式,以得到不同规模的有限元方程。本次试验共采用了8种不同的剖分方案,各方案的单元数目详见表,然后采用代数多重网格法完成了各方案的有限元计算,所有各方案的计算结果均收敛于解析解。为了进行比较研究,对上述各方案的模拟同时采用了直接法一改进的乔列斯基分解法((LU分解)和单层网格迭代法一共辘梯度法(CG法)进行了求解。各种求解方法所用的CPU时问,直接法与代数多重网格法以及共辘梯度法与代数多重网格法所消耗CPU时问之比与单元数之问关系。
      当求解的有限元规模较小时,代数多重网格法求解效率不明显,直接法与共辘梯度法所消耗的CPU时问与代数多重网格法相当,但随着解题规模的扩大,代数多重网格法在数值效率上具有明显的优越性。比如,当解题规模2500增加到13924时,直接法消耗的CPU时问比从1.77倍急速增加到11.869倍,与单层网格迭代法相比,共辘梯度法消耗的CPU时问比也从1.07倍上升到1.93倍。随着有限元单元数目的增加,代数多重网格法消耗的CPU时问增长率要远小于直接法,也低于共辘剃度法。因此,代数多重网格有限元法对于分析大型、超大型岩石力学工程问题比直接法和其他单层网格迭代法具有较明显的优越性。   
      研究了应用代数多重网格方法求解岩体力学有限元方程的问题,论述了基于单元聚集和能量极小意义下相应的网格粗化策略与插值、限制方法,并给出了具体的代数多重网格算法。数值试验表明,(a)使用代数多重网格法求解岩体力学有限元方程,具有较高的收敛精度和较好的数值效率,(b)当求解的有限元规模较小时,代数多重网格法求解效率不明显,但随着解题规模的扩大,代数多重网格法在数值效率上较直接法和其他单层网格迭代法具有明显的优越性。代数多重网格法具有存贮量小、收敛精度高和计算时问少等优点,本研究将代数多重网格方法引入到岩体力学有限元计算领域,对于解决岩石力学工程实践中不断出现的大规模科学计算问题,提高岩石力学有限元数值模拟的效率、精度以及相应工程领域的管理决策水平,具有较大科学和技术经济意义。


                                                                                  专业从事机械产品设计│有限元分析│强度分析│结构优化│技术服务与解决方案
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